ヌーソロジー攻略研究会: 75. 反転の意味について

物体がボールのような球体だとすると、その球体の半径がどんどん小さくなって、ついには半径ゼロの点となり、その向こう側に突き抜けて、裏返って、今度は点から、どんどん半径を拡大して、また球体が大きくなっていくと考えます。このイメージは結構誰もが簡単にイメージできると思います。

このとき、球体の表面上を何か点状のものがぐるりと一回転すると考えれば、球体の半径がどんどん小さくなると、この点状のものが回転する半径も次第に小さくなります。このとき、回転する方向は、例えば、最初、時計回りだったとすると、球体の半径がどんどん小さくなって、球体が点となるまでは点状のものの回転は同じ時計回りですが、ついに球体が点となって裏返って、今度は半径が大きくなっていくときには、点状のものの回転は反時計回りになっています。つまり、球体の表面に位置する点状のものの回転の向きが反転するわけです。

図75.1　球体の半径が小さくなって点となり、向こう側へ突き抜けた世界

ここでも、少し数式的な世界観で見ておきましょう。この点状のものが回転するところに平面を考え、その平面が複素数平面であるとすれば、この点状のものの運動全体は、

…(75-1)

で表せます。

このとき、半径方向の縮小・拡大運動を対数で表し、さらに、その指数を虚数を用いで作為的に変形すれば、

…(75-2)

と表せますから、結局、この点状のものの運動全体は、

…(75-3)

で表し直せます。この式の後半部分はふつうの回転、つまり、角度が実数の回転を表しますが、前半部分は角度が純虚数の回転を表しているとも言えます。この角度が純虚数の回転は、円ではなく、直角双曲線を描く運動であり、「擬回転」とも「双曲的回転」とも呼ばれます。この擬回転は、2次元世界におけるローレンツ変換と同じカタチになるのです。

ちなみに、参考までに、複素数平面上の回転と実平面上の回転の対応に準じて、擬回転も対応づけておきます（複素数には分解型複素数が対応しますが、ここでは省略します）。

ここで、三角関数と双曲線関数の関係式は、以下の通りです。

実際に、2次元時空における擬回転とローレンツ変換を関係づけておきましょう。

ここで、

　…(75-7)　

とおけば、

となりますから、左右どちらの等式からも、時間と空間に対するローレンツ変換の変換式

　…(75-8)

が導き出せます。ローレンツ変換によって、時間と空間は独立に存在するものではなくなり、混ぜ合わされます。この変換式において、光速度cをc→∞（無限大）と近づければ、v／c→0となり、分母も1に収束しますから、結局、

　…(75-9)

というごくありふれた「ガリレイ変換」の変換式に近似することになります。ガリレイ変換においては、ガリレイ変換の前後で時間は変化せず、空間だけが変換の影響を受けます。

ここで、円と直角双曲線の数式上の類似的関係性を示しておきます。

図75.2　円と双曲線の類似的関係性

図75.3　双対円錐の切断と楕円・双曲線（ウィキペディア「円錐曲線」より）

図75.4　ダンデリンの球と楕円・双曲線

図75.5　視界と楕円・双曲線（長谷川浩司『線型代数』p.255より図1（イ）（ウ））

ボールのような球体の物体が、どんどん収縮し、光速に到達し点となった後、光速を超えて、逆に、拡大し始める仕組みは、私のイメージとしては、ミンコフスキー空間的光双対円錐の中を、球体が小さくなりながら双対円錐の中をくぐっていくイメージであり、それは知覚正面のもととなる複素数平面を、春巻きのように巻いた後でペシャンコにして知覚正面という平面とするときのプロセスで登場する、円錐状のカタチこそが、その光双対円錐そのものではないかと考えています。