76. 素粒子の運動方程式

素粒子は。以下のように、スピンの種類によってそれぞれ運動方程式が異なります。

・スピン0の粒子 　（スカラー粒子）……クライン＝ゴルドン方程式

・スピン1/2の粒子（スピノル粒子）……ディラック方程式

・スピン1の粒子 　（ベクトル粒子）……質量がある場合、プロカ方程式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　質量がない場合、マクスウェル方程式

・スピン3/2の粒子（ベクトル・スピノル粒子）……ラリタ＝シュウィンガー方程式

・スピン2の粒子 　（重力子） 　　　……アインシュタイン方程式

　

なお、素粒子物理学においては、相対論的力学を考慮するため、スピン1/2の粒子も、私たちにはお馴染みの非相対論的な波動方程式である「シュレーディンガー方程式」を用いずに、相対論的な波動方程式である「ディラック方程式」の方を用います。

さて、ここで、よく用いる共通の記号の意味を定義し、まとめておきます。まず、角振動数と角波数の演算子、および、エネルギーと運動量の演算子は、それぞれ、

とします。また、反変ベクトル側の微分演算子を、

　　　……(76-5)

共変ベクトル側の微分演算子を

……(76-6)

とします。なお、

…(76-7)

のような式は、「アインシュタインの縮約」と呼ばれる、同じ形の記号の和をまとめる表記法を用いて、

…　(76-8)

のように、シグマ記号を省略して記述します。

(1) スピン0の粒子（スカラー粒子）の運動方程式（クライン＝ゴルドン方程式）

古典力学における相対論的関係：

　　　　……　(76-9)

を量子化すれば、エネルギーや運動量を演算子に置き換えて、

　……　(76-10)

となります。ここで、エネルギー演算子と運動量演算子の定義式を代入して整理すれば、

　　……　(76-11)

となります。これを「クライン＝ゴルドン方程式」と呼びます。ここで、アインシュタインの縮約を用いれば、

　……　(76-12)

とまとめられますので、結局、クライン＝ゴルドン方程式は、

　……　(76-13)

と簡潔に表記されます。また、元の式

　……　(76-14)

より、直接

　……　(76-15)

と書いても同じ意味です。

(2) スピン1/2の粒子（スピノル粒子）の運動方程式（ディラック方程式）

クライン・ゴルドン方程式の左辺を、ディラックのγ行列を用いて因数分解すれば、

となりますから、これより、

……　(76-17)

となります。ここで、代表的な方を採用すれば、

　……　(76-18)

となります。ここで、エネルギー演算子と運動量演算子の定義式を代入して整理すれば、

　……　(76-19)

が得られます。これを「ディラック方程式」と呼びます。ここで、「アインシュタインの縮約」を用いれば、

……　(76-20)

と書けますから、これは簡潔に

　……　(76-21)

あるいは、　

　……　(76-22)

より、直接

　……　(76-23)

と表記できます。なお、ψは「ディラック・スピノル」と呼ばれる4成分スピノルです。

　……　(76-24)

この方程式に登場する4×4行列のディラックのγ行列（共変形式）については、異なる添数同士が以下のような反交換関係式を持ちます。

……　(76-25)

反交換子：

……　(76-26)

を定義し、これを用いてまとめれば、簡潔に、

　……　(76-27)

と書けます。ただし、ηはミンコフスキー空間の計量行列です。ディラックのγ行列は、この関係式を満たす4×4行列であれば、何でも構いません。

そのうち、よく用いられるものとしては、「ディラック表示」（または、「ディラック＝パウリ表示」）と呼ばれるものと、「ワイル表示」と呼ばれるものがあります。

まず、「ディラック表示」と呼ばれるものは、以下の形式で、主として「粒子が光速よりはるかに低速の場合」に用いられます。

……　(76-28)

なお、まとめて、　

　……　(76-29)

と表記できます。さらに、直積表現で書けば、

　……　(76-30)

と書けます。

一方、「ワイル表示」（または「カイラル表示」）と呼ばれるものは以下の形式で、主として、粒子が「光速に近いほど高速の場合」に用いられます。

　……　(76-31)

直積表現で書けば、

　……　(76-32)

と書けます。

ここで、σ1,σ2,σ3は「パウリ行列」と呼ばれる2×2行列で、

　……　(76-33)

です。なお、パウリ行列同士の関係として、

が成り立ちます。

ここで、ψの共役として、

……　(76-36)

を定義し、

　……　(76-37)

の両辺の共役をとれば、「共役ディラック方程式」は、

　……　(76-38)

となります。「アインシュタインの縮約」を用いれば、

　……　(76-39)

と書けますから、これは簡潔に

　……　(76-40)

と表記できます。

(3) スピン1の粒子（ベクトル粒子）の運動方程式（プロカ方程式）

4元電磁ポテンシャルを

とすれば、電磁場テンソルは

　……　(76-41)

と書けて、マクスウェル方程式(ⅰ) (ⅱ)は、

　……　(76-42)

と表わすことができました。これは、「アインシュタインの縮約」を用いれば、

　……　(76-43)

と簡潔に書けます。

このマクスウェル方程式をベースにして、質量項を加えたものを作れば、

　……　(76-44)

となります。これを「プロカ方程式」と呼びます。これも、「アインシュタインの縮約」を用いれば、

　……　(76-45)

と簡潔に書けます。