さて、電磁場(電場の強さEと磁束密度B)中の電荷q、質量mの荷電粒子の運動方程式は、荷電粒子の速度をvとすれば、
で表されます。ここで、
は「ローレンツ力」と呼ばれます。なお、電荷密度ρ、電流密度jの媒質が電磁場から受ける単位体積当たりの力は、
と書けます。この運動方程式を満たすためのハミルトニアン(力学的総エネルギー)は、
を満たす4元電磁ポテンシャルを(1/cφ, A)、ポテンシャル・エネルギーをUとすれば、
と表されます。ただし、これは、電磁場のない場合の運動に対するハミルトニアン
に対して、
の分だけ、並進運動(平行移動)させたもの、つまり、
になっています。
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