57. 波動とは何か？――自由な平面波について

さて、いきなり「波動関数」という言葉を多用してしまいましたが、この波動関数の「波動」とは何でしょうか。元々、この「波動」とは読んで字のごとく、「波が動くさま」のことですが、「波」と聞いてみなさんはどのようなものを思い浮かべるでしょうか。

単純な波の形としては、「正弦波」が基本的な形です。いわゆる「正弦関数」のグラフの形であるが、位相を90度ずらせば「余弦関数」のグラフになります。

図57_1　正弦関数と余弦関数（佐藤文隆・松下泰雄『波のしくみ』より）

ここに登場する波動関数ψ(r, t)は、4次元時空（＝3次元空間＋1次元時間）の関数ですが、これではイメージがつかみにくいと思いますので、まずは次元を落として、もう少しわかりやすい2次元時空（＝1次元空間＋1次元時間）の関数ψ(x,t) として改めて眺めてみましょう。

一般に、現代物理学において、観測対象となる物理量は、一般に波動関数の形をとります。例えば、最も基本的な波である自由な平面波は、2次元時空においては、

と書けます。ここで、この指数関数における底の肩に乗っている指数θは、

と書けて、波動関数の「位相」と呼ばれます。改めて「位相」とは何かと言われれば、動いていく波の位置の相だと言ってもいいでしょう。まさしく円周上の点の位置を示す角度のことだと言えます。なお、平面波とは、位相が一定となる面（等位相面）が平面となる波のことです。ここでは、空間を伝わる波で波面が平面であるもののうち、ふつう進行波を指します。

図57_2　波の性質（志村史夫『BLUEBACKS いやでも物理が面白くなる』p.27より図1-14）

ここで、波には波を特徴づけるいくつかの物理量があるので、まとめて紹介しておきましょう。

初期位相：δ　　　　…　原点からのずれ

振幅　　：A　　　　…　波が1回上下する幅の半分

周期　　：T　　　　…　波が1回上下する時間

波長　　：λ　　　　…　波が1回上下する長さ

振動数　：ν＝1／T　…　単位時間（秒）に波が1回上下する回数

波数　　：κ＝1／λ　…　単位長さ（m）に波が1回上下する回数

となりますが、波が1回上下動することを波1個と呼ぶことにすれば、

　振幅　　：A　　　　　…　波1個の揺れ幅の半分

　周期　　：T　　　　　…　波1個の時間

　波長　　：λ　　　　　…　波1個の長さ

　振動数　：ν＝1／T　　…　単位時間当たりの波の個数

　波数　　：κ＝1／λ　　…　単位長さ当たりの波の個数

と書き換えられます。最後の振動数と波数については、さらに、

　角振動数：ω＝2πν　…　位相1ラジアン単位の振動数

　角波数　：k ＝2πκ　…　位相1ラジアン単位の波数

が定義されます。

さて、量子論の作用単位とも言える「プランク定数」から、位相1ラジアン単位で換算した物理量である「換算プランク定数」（ディラック定数）を定義すれば、

となります。ここで、光子(photon)のエネルギーと運動量に関して

という関係があります。すると、前述の位相は、

と変形できます。したがって、前述の2次元時空における波動関数は、初期位相δをゼロとすれば、

と書き直せます。