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2020年4月29日水曜日

81. U (1) ゲージ変換

では、U(1)ゲージ変換とは、具体的に一体どのような座標変換でしょうか? U(1)ゲージ変換というのは、簡単に言えば、素粒子の場の関数の位相を別の位相に変えるような変換の一種、つまり、位相の回転のようなものと考えればいいでしょうか。場の関数ψというのは、無数の波動関数のようなものから出来ていると考えると、こんな感じです。


ただし、ゲージ変換が厄介なのは、この場の関数の位相変換に付随して、微分演算子も同調させて変換しておかないと、後で計算上都合が悪くなります。そこで、一緒に、次のような、微分演算子Dμに対する位相変換もしておくわけです。

この微分演算子Dμはそもそも、素粒子の場の関数ψに作用するものですから、場の関数への作用に関して、以下のように変化することになります。

前述の場の関数の位相変換と合わせると、こんな感じです。


これがU(1)ゲージ変換の変換性です。ただし、厄介なことに、これをローカルな時間と空間r=r (x, y, z)の関数としてのローカル・ゲージ(局所位相)θ(t, r)に対して成り立たせようとすると、位相変換による歪み分を調整する補正項を、微分演算子Dμ自身の内部に抱え込まなければいけなくなります。この「位相変換による歪み分を調整する補正項」こそ、ゲージ場であり、前述のボソンの起源になります。U(1)ゲージ変換における微分演算子Dμの詳細は添数付きでこんな感じになります。正確には「共変微分」と呼ばれます。

言い換えれば、U(1)ゲージ変換という座標変換を行なったことによる歪み分を補正するものこそ、ボソン(力を媒介する粒子)としての光子であり、それこそが電磁気力という相互作用において、交換されるものの正体だと言うわけです。


ゲージ変換という座標変換によって、ある種のモノの見方、捉え方の角度を変更するとき、運動の形を変えないために、内部空間の歪みとしてのボソンが現れて、調整を行う。これこそが、観測に伴う歪みだとも言える。

 ヌーソロジー的に、人間の意識との関連において、この意味をどう捉えるかが、より深く探究したいところです。

実際に
計算してみると、

となります。




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