49. 古典力学的世界観の完成 (2)

図1　ハミルトンの原理（仲滋文『新版シュレーディンガー方程式』より）

さて、ラグランジュの運動方程式をより一般化しましょう。ここで、位置に正準共役な運動量として、

　…(49-1)

を定義し、ルジャンドル変換：

　　…(49-2)

という変換を用いて、

　位置と速度および時間の関数「ラグランジアン」（ラグランジュ関数）L

＝運動エネルギー　－　位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）

→位置と運動量および時間の関数「ハミルトニアン」（ハミルトン関数）H

＝運動エネルギー　＋　位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）＝総エネルギー

と変換すれば、作用は、

 　　…(49-3)

と書けます。ハミルトニアンをエネルギーと言い換え、

この括弧内を簡単な日本語で書けば、

作用＝運動量・位置－エネルギー・時間

ということです。さて、この変分をとれば、

…(48-4)

となりますが、これが始点と終点の関数の差になることを要請すれば、

…(48-5)

という「ハミルトンの正準運動方程式」が導かれます。

　

すなわち、ハミルトニアンをエネルギーと言い換えれば、

「位置」　の「時間」微分＝＋「エネルギー」の「運動量」微分

「運動量」の「時間」微分＝－「エネルギー」の「位置」微分

という連立方程式です。以下のように図示すれば、時間、位置（空間）、エネルギー、運動量の捩れの構造が見てとれるでしょうか。